Question

6．如图，从椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（\;a＞b＞0\;）$上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且$AB∥OP，\;\;|{F_1}A|\;=\sqrt{10}+\sqrt{5}$．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 若M是椭圆上的动点，点N（4，2），求线段MN中点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由题意可知：求得A，B，F₁，P点坐标，由k_AB=k_OP，根据斜率公式，求得b和c的值，根据椭圆的性质，$a=\sqrt{2}c$，由$|{F_1}A|\;=\;a+c=（\sqrt{2}+1）\sqrt{5}$，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ） 由题意可知：根据中点坐标公式，求得M点坐标，将M代入椭圆方程，即可求得Q的轨迹方程．

解答 解：（Ⅰ） 由题意可知，$A\;（\;a，\;\;0\;），B\;（\;0，\;\;b\;），{F_1}\;（\;-c，\;\;0\;），P\;（\;-c，\;\;\frac{b^2}{a}\;）$，
∵AB∥OP，
∴k_AB=k_OP，
∴$-\frac{b}{a}=-\frac{b^2}{ac}⇒b=c$，
∵a²=b²+c²，
∴a²=2c²，
∴$a=\sqrt{2}c$，
∴$a+c=（\sqrt{2}+1）\;c$，$|{F_1}A|\;=\;a+c=（\sqrt{2}+1）\sqrt{5}$，
∴$a=\sqrt{10}$，$c=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{5}$，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1$．
（Ⅱ） 设Q（x，y），已知点Q为线段MN中点，N（4，2），则M（2x-4，2y-2），
∵M是椭圆$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1$上的动点，
∴$\frac{{{{（2x-4）}^2}}}{10}+\frac{{{{（2y-2）}^2}}}{5}=1$，
即$\frac{{2{{（x-2）}^2}}}{5}+\frac{{4{{（y-1）}^2}}}{5}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，中点坐标公式公式，求动点的轨迹方程，考查计算能力，属于中档题．