Question

15．已知△ABC的三个顶点A（-1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圆为⊙H．若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 先求出圆H的方程，再根据直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，设出直线方程，利用勾股定理，即可求直线l的方程

解答 解：线段AB的垂直平分线方程为x=0，线段BC的垂直平分线方程为x+y-3=0，
所以外接圆圆心为H（0，3），半径为$\sqrt{{1^2}+{3^2}}=\sqrt{10}$，
故⊙H的方程为x²+（y-3）²=10．
设圆心H到直线l的距离为d，
因为直线l被⊙H截得的弦长为2，所以$d=\sqrt{{{（\sqrt{10}）}^2}-1}=3$．
当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x=3为所求；
当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y-2=k（x-3），则$\frac{|-3k-1|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=3$，解得$k=\frac{4}{3}$．
综上，直线l的方程为x=3或4x-3y-6=0．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法及点到直线的公式的合理运用．