Question

3．如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、M、N分别是BC、AE、CD₁的中点，AD=AA₁=a，AB=2a．求证：MN∥平面ADD₁A₁．

Answer 1

分析 以D为原点，分别以DA、DC、DD₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{3}{4}$a，0，$\frac{a}{2}$）．平面ADD₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），通过$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{n}$=0，证明MN∥平面ADD₁A₁．

解答 证明：以D为原点，分别以DA、DC、DD₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（a，0，0），B（a，2a，0），C（0，2a，0），D₁（0，0，a），E（$\frac{1}{2}$a，2a，0），


∵M、N分别为AE、CD₁的中点，
∴M（$\frac{3}{4}$a，a，0），N（0，a，$\frac{a}{2}$）．
∴$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{3}{4}$a，0，$\frac{a}{2}$）．…（6分）
取$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），…（8分）      
显然$\overrightarrow{n}$⊥平面A₁D₁DA，且$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{n}$=0，
∴$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{n}$．又MN?平面ADD₁A₁．
∴MN∥平面ADD₁A₁． …（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间向量的应用，是中档题．