Question

20．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=AC=2，PA=$\sqrt{2}$，E，F分别是PB，BC的中点，则EF与平面PAB所成的角等于（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF与平面PAB所成的角．

解答 解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，1，0），C（0，2，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），
E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
$\overrightarrow{EF}$=（0，1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}，1，0$），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），
设EF与平面PAB所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{\frac{3}{2}}×2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=45°．
∴EF与平面PAB所成的角等于45°．
故选：B．

点评 本题考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．