Question

6．用“分析法”证明：当a＞1，$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-1}$＜2$\sqrt{a}$．

Answer 1

分析 分析使不等式$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-1}$＜2$\sqrt{a}$成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证．

解答 证明：因为$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}$＞0，$2\sqrt{a}$＞0，
所以只要证${（\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}）^2}$＜${（2\sqrt{a}）^2}$，
即要证$2a+2\sqrt{{a^2}-1}$＜4a，
即要证$\sqrt{{a^2}-1}$＜a
即要证a²-1＜a²，
而这显然成立，所以原命题成立．…..（14分）

点评 本题主要考查利用分析法证明不等式，利用用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止，属于中档题．