Question

已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）．
（1）当a=-

1

4

时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在

x≥0 y-x≤0

所表示的平面区域内，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,简单线性规划

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f′（x）=-

1

2

x+

1

x+1

=-

(x+2)(x-1)

2(x+1)

（x＞-1），利用导数求得单调区间；
（2）根据不等式恒成立的条件，将且转化为求函数的最大值问题解决，利用导数判断函数单调性后利用单调性求出最大值即可得证．

解答： 解：（1）当a=-

1

4

时，f（x）=-

1

4

x²+ln（x+1）（x＞-1），
f′（x）=-

1

2

x+

1

x+1

=-

(x+2)(x-1)

2(x+1)

（x＞-1），
由f'（x）＞0解得-1＜x＜1，由f'（x）＜0，解得x＞1．
故函数f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（1，+∞）．
（2）函数y=f（x）图象上的点都在

x≥0 y-x≤0

所表示的平面区域内，
则当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，
设g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）_max≤0即可．
由g′（x）=2ax+

1

x+1

-1=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，
（ⅰ）当a=0时，g′（x）=

-x

x+1

，当x＞0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（0）=0成立，
（ⅱ）当a＞0时，由g′（x）=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

=0，因x∈[0，+∞），所以x=

1

2a

-1，
①若

1

2a

-1＜0，即a＞

1

2

时，在区间（0，+∞）上，g'（x）＞0，
则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）在[0，+∞）上无最大值（或：当x→+∞时，g（x）→+∞），此时不满足条件；
②若

1

2a

-1≥0，即0＜a≤

1

2

时，函数g（x）在（0，

1

2a

-1）上单调递减，在区间（

1

2a

-1，+∞）上单调递增，
同样g（x）在[0，+∞）上无最大值，不满足条件．
（ⅲ）当a＜0时，由g′（x）=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，
∵x∈[0，+∞），
∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g'（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（0）=0成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．

点评：本题主考查利用导数求函数的单调区间及函数的最值等有关知识，注意不等式成立的条件及分类讨论思想、转化及划归思想的运用，属综合性较强的题目，难题．