Question

在三棱锥S-ABC中，O是AB的中点，SA=SB=

2

，其余棱长均为2．
（1）求证：平面SOC⊥平面ABC；
（2）求二面角O-SC-A的平面角的正切值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出SO⊥AB，CO⊥AB，从而得到AB⊥平面SOC，由此能证明平面SOC⊥平面ABC．
（2）取SC中点D，连结OD、AD，由已知条件推导出∠ADO是二面角二面角O-SC-A的平面角，由此能求出二面角O-SC-A的平面角的正切值．

解答： （1）证明：在三棱锥S-ABC中，
∵O是AB的中点，SA=SB=

2

，其余棱长均为2，
∴SO⊥AB，CO⊥AB，SO∩CO=O，
∴AB⊥平面SOC，
∵AB?平面ABC，
∴平面SOC⊥平面ABC．
（2）解：取SC中点D，连结OD、AD，
由题意知SO=CO=

3

，SA=CA=2，
∴OD⊥SC，AD⊥SC，
∴∠ADO是二面角二面角O-SC-A的平面角，
由题意知OD=

3-1

=

2

，AD=

4-1

=

3

，AO=1，
∴cos∠ADO=

3+2-1

2 3 • 2

=

6

3

，
∴sin∠ADO=

1-( 6 3 )2

=

3

3

，
∴tan∠ADO=

3 3

6 3

=

2

2

．
∴二面角O-SC-A的平面角的正切值为

2

2

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．