Question

已知函数f（x）=

lnx

x

+ax+b的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线l：2x-4y+3=0平行．证明：函数y=f（x）在区间（1，e）上存在最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：证明题,导数的综合应用

分析：由题意求导f′（x）=

1-lnx

x2

+a，从而可得f′（1）=1+a=

1

2

；从而解出a=-

1

2

；则f′（x）=

1-lnx

x2

-

1

2

=

2-2lnx-x2

2x2

；从而讨论函数的单调性以确定最值．

解答： 证明：∵f（x）=

lnx

x

+ax+b，
∴f′（x）=

1-lnx

x2

+a，
又∵函数f（x）=

lnx

x

+ax+b的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线l：2x-4y+3=0平行，
∴f′（1）=1+a=

1

2

；
故a=-

1

2

；
故f′（x）=

1-lnx

x2

-

1

2

=

2-2lnx-x2

2x2

；
令h（x）=2-2lnx-x²；
则易知h（x）在区间[1，e]上是减函数，
且h（1）=2-1＞0，h（2）=2-2ln2-4＜0；
故存在x₀∈（1，2），使h（x₀）=0；
故当x∈[1，x₀）时，f′（x）＞0，当x∈（x₀，e]时，f′（x）＜0；
故f（x）在[1，x₀）上是增函数，在（x₀，e]上是减函数，
故函数y=f（x）在区间（1，e）上存在最大值．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的最值的求法，属于中档题．