Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是A₁D₁的中点，Q是A₁B₁的任意一点，E、F是CD上的任意两点，且EF的长为定值．给出以下结论：
①异面直线PQ与EF所成的角是定值；
②点P到平面QEF的距离是定值；
③直线PQ与平面PEF所成的角是定值；
④三棱锥P-QEF的体积是定值；以上说法正确的序号是

 

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Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离,简易逻辑

分析：①由于DC∥A₁B₁，可得A₁B₁与直线PQ所成的锐角或直角即为异面直线PQ与EF所成的角，与点Q的位置有关，不是定值；
②由于点Q到平面PCD的距离是定值，△PEF的面积是定值，因此三棱锥Q-PEF的体积是定值，而△QEF的面积是定值，因此点P到平面QEF的距离是定值，即可判断出；
③由于点Q到平面PCD的距离是定值，而PQ的长度与点Q的位置有关，因此直线PQ与平面PEF所成的角不是定值；
④由②可知：三棱锥P-QEF的体积是定值．

解答： 解：①∵DC∥A₁B₁，∴A₁B₁与直线PQ所成的锐角或直角即为异面直线PQ与EF所成的角，与点Q的位置有关，不是定值，不正确；
②由于点Q到平面PCD的距离是定值，△PEF的面积是定值，因此三棱锥Q-PEF的体积是定值，而△QEF的面积是定值，因此点P到平面QEF的距离是定值，与点Q的位置无关，正确；
③由于点Q到平面PCD的距离是定值，而PQ的长度与点Q的位置有关，因此直线PQ与平面PEF所成的角不是定值；
④由②可知：三棱锥P-QEF的体积是定值，正确；
以上说法正确的序号是 ②④．
故答案为：②④．

点评：本题考查了正方体的性质、三棱锥的体积、线面角、异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．