Question

对于R上可导的任意函数f（x），若满足f（x）+xf′（x）＞0且f（-1）=0，则f（x）＞0解集是（　　）

• A、（-∞，-1）
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，-1）∪（0，+∞）
• D、（-1，0）

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：构造函数g（x）=xf（x），求导后由已知可得函数g（x）=xf（x）为单调增函数，再由f（-1）=0，得当x＜-1时，xf（x）＜0，f（x）＞0；当-1＜x＜0时，xf（x）＞0，f（x）＜0；当x＞0时，xf（x）＞0，f（x）＞0．从而求得f（x）＞0的解集．

解答： 解：令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，
∴函数g（x）=xf（x）为单调增函数，
又f（-1）=0，
∴g（-1）=（-1）•f（-1）=0．
则当x＜-1时，xf（x）＜0，f（x）＞0；
当-1＜x＜0时，xf（x）＞0，f（x）＜0；
当x＞0时，xf（x）＞0，f（x）＞0；
∴f（x）＞0解集是（-∞，-1）∪（0，+∞）．
故选：C．

点评：本题考查了导数的运算，考查了函数构造法，合理构造函数g（x）=xf（x）是解答该题的关键，是中档题．