Question

已知sinα+sinβ=

1

4

，cosα+cosβ=

1

3

，求cos（α-β）和cos（α+β）．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由题意，把sinα+sinβ=

1

4

与cosα+cosβ=

1

3

分别平方，两式相加，求出cos（α-β）的值，两式相减，求出cos（α+β）的值．

解答： 解：∵sinα+sinβ=

1

4

，cosα+cosβ=

1

3

，
∴sin²α+2sinαsinβ+sin²β=

1

16

①，
cos²α+2cosαcosβ+cos²β=

1

9

②；
∴①+②得，1+2（sinαsinβ+cosαcosβ）+1=

1

16

+

1

9

，
即2cos（α-β）=-

263

144

，
∴cos（α-β）=-

263

288

；
②-①得，（cos²α-sin²α）+（cos²β-sin²β）+2（cosαcosβ-sinαsinβ）=

7

144

，
即cos2α+cos2β+2cos（α+β）=

7

144

，
∴2cos（α+β）cos（α-β）+2cos（α+β）=

7

144

，
∴2cos（α+β）=

7

144

×

1

1- 263 288

=

14

25

，
∴cos（α+β）=

7

25

；
综上，cos（α-β）=-

263

288

、cos（α+β）=

7

25

．

点评：本题考查了三角函数的恒等变换问题，解题时应灵活应用公式进行计算，是中档题．