Question

已知函数f（x）是R上的偶函数，在[0，+∞）上是减函数，且f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：先确定函数在（-∞，0）上是增函数，再将不等式等价变形，利用函数的单调性，即可求解不等式．

解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞﹚上是减函数，
∴函数在（-∞，0）上是增函数
∵f（2）=0，∴f（-2）=0
不等式xf（x）＜0等价于

x＞0 f(x)＜f(2)

或

x＜0 f(x)＞f(-2)

∴x＞2或-2＜x＜0
故不等式xf（x）＜0的解集为（-2，0）∪（2，+∞），
故答案为：（-2，0）∪（2，+∞）

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．