题目内容

如图，在梯形ABCD中，DA=AB=BC=2，CD=4，点P在△BCD的内部（含边界）运动，则
AP
•
BD
的取值范围是
 
．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：在梯形ABCD中，DA=AB=BC=2，CD=4，可得∠DAB=120°，BC⊥BD．BD=2
3
．如图所示，过点A作AO⊥BD，垂足为O．可得
AP
=
AO
+
OP
，
AO
•
BD
=0．于是
AP
•
BD
=(
AO
+
OP
)•
BD
=
OP
•
BD
．由图可知：当点P取点D时，则
AP
•
BD
取得最大值．当点P取BC边上的任意一点时，则
AP
•
BD
取得最小值即可得出．
解答： 解：∵在梯形ABCD中，DA=AB=BC=2，CD=4，
∴∠DAB=120°，BC⊥BD．
∴BD=2
3
．
如图所示，过点A作AO⊥BD，垂足为O．
则
AP
=
AO
+
OP
，
AO
•
BD
=0．
∴
AP
•
BD
=(
AO
+
OP
)•
BD
=
AO
•
BD
+
OP
•
BD
=
OP
•
BD
．
由图可知：当点P取点D时，则
AP
•
BD
取得最大值=
1
2
BD
2=
1
2
×(2
3
)2=6．
当点P取BC边上的任意一点时，则
AP
•
BD
取得最小值=-
1
2
BD
2=
1
2
×(2
3
)2=-6．
∴则
AP
•
BD
的取值范围是[-6，6]．
故答案为：[-6，6]．
点评：本题考查了向量的数量积定义及其性质、投影的定义、向量的三角形法则、等腰梯形的性质等基础知识与基本技能方法，考查了转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
=（cosnα，sinnα），
b
=（cosnβ，sinnβ），an=
a
•
b
．
（1）若n=1，且
a
⊥
b
，求证：|
a
-
b
|=
2
；
（2）若α-β=
π
2
，求数列{an}的前2n项的和．
在极坐标系中，点（-2，
π
6
）到直线ρsinθ=2的距离等于
 
．
如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则AC长为
 
．
已知函数f（x）是R上的偶函数，在[0，+∞）上是减函数，且f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为
 
．
圆C的半径为5，其圆心在直线x-2y=0上且在一象限，圆C与x轴的相交弦长为8，则该圆的标准方程为
 
．
已知两个非零向量
a
和
b
所成的角为θ（0≤θ≤π），规定向量
c
=
a
×
b
，满足：
（1）模：|
c
|=|
a
||
b
|sinθ；
（2）方向：向量
c
的方向垂直于向量
a
和
b
（向量
a
和
b
构成的平面），且符合“右手定则”：用右手的四指表示向量
a
的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度θ到向量
b
的方向，大拇指所指的方向就是向量
c
的方向．
这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积．
对于向量的叉乘运算，下列说法正确的是
 
．
①
a
×
a
=
0
；      
②
a
×
b
=
0
等价于
a
和
b
共线；
③叉乘运算满足交换律，即
a
×
b
=
b
×
a
；
④叉乘运算满足数乘结合律，即λ（
a
×
b
）=（λ
a
）×
b
=
a
×（λ
b
）．
若矩阵A=
01
10
，B=
1
0
，则A和B的乘积AB=
 
．
表达算法的基本逻辑结构不包括（　　）
A、顺序结构B、条件结构
C、循环结构D、计算结构

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