Question

17．已知函数f（x）=sinωx（$\sqrt{3}$cosωx+sinωx）（ω＞0）的图象两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）的单凋减区间；
（3）若对任意的x₁，x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有，|f（x₁）-f（x₂）|＜m，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式与差角公式对f（x）进行化简，根据周期列出方程解出；
（2）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ解出．
（3）求出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值，令最大值与最小值的差小于m即可．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+sin²ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx$+\frac{1}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．∵f（x）图象两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
（2）f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得：$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{6}$+kπ．∴f（x）的单调减区间是[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z．
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上最大值是$\frac{3}{2}$，最小值是0．
∵|f（x₁）-f（x₂）|＜m恒成立，∴m＞$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，化简求值，三角函数的性质，及函数恒成立问题，属于中档题．