Question

8．已知函数f（x）=-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+6sinxcosx-2cos²x+1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的最大值为$\sqrt{2}$．
①求函数g（x）的解析式；
②函数y=g（x）在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）上至少含有30个零点，在满足条件的上述条件[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （1）对f（x）化简，代入周期公式得出．
（2）①根据函数图象变换规律得出g（x），利用最大值列方程解出m，
②令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b-a最小，则a和b都是零点，且中间有14个大间隔距离，15个小间隔距离．

解答 解：（1）f（x）=-sin2x-cos2x+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）①g（x）=2$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]-m=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-m．∴2$\sqrt{2}$-m=$\sqrt{2}$，解得m=$\sqrt{2}$．∴g（x）=2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{2}$．
②令g（x）=0，得sin（2x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，∴2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{6}$+2kπ，或2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{6}$+2kπ，解得x=-$\frac{π}{24}$+kπ，或x=$\frac{7π}{24}$+kπ．k∈Z．
∴相邻两个零点之间的距离为$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
当b-a最小时，a，b均是g（x）的零点，且在[a，b]上恰好有29个相邻零点间隔，其中有14个大间隔，15个小间隔．
∴b-a=$\frac{π}{3}×15$+$\frac{2π}{3}$×14=$\frac{43π}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的性质，三角函数求值，属于中档题，计算出零点间得距离是关键．