Question

5．若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;2{\;^x}-a\;，\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≤1\;，\;\;\\（{x-a}）（{x-3a}）\;，\;\;\;\;x＞1\end{array}\right.$恰有两个零点，则实数a的取值范围是$（{\frac{1}{3}，\;\;1}]∪（{2，\;\;+∞}）$．

Answer 1

分析 ①当a≤0时，f（x）＞0恒成立，②当a＞0时，由2^x-a=0讨论，再由f（x）=（x-a）（x-2a）讨论，从而确定方程的根的个数．

解答 解：①当a≤0时，f（x）＞0恒成立，
故函数f（x）没有零点；
②当a＞0时，2^x-a=0，
解得，x=log₂a，又∵x＜1；
∴当a∈（0，2）时，log₂a＜1，
故2^x-a=0有解x=log₂a；
当a∈（2，+∞）时，log₂a≥1，
故2^x-a=0在（-∞，1）上无解；
∵（x-a）（x-3a），
∴当a∈（0，$\frac{1}{3}$]时，
方程（x-a）（x-3a）=0在（1，+∞）上无解；
当a∈（$\frac{1}{3}$，1]时，
方程（x-a）（x-3a）=0在（1，+∞）上有且仅有一个解；
当a∈（1，+∞）时，
方程（x-a）（x-3a）=0在（1，+∞）上有且仅有两个解；
综上所述，当a∈（$\frac{1}{3}$，1]或a∈（2，+∞）时，函数f（x）恰有2个零点，
故答案为：$（{\frac{1}{3}，\;\;1}]∪（{2，\;\;+∞}）$

点评 本题考查了分段函数的性质的应用及分类讨论的思想应用．