Question

8．已知$f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$满足$f（x+\frac{π}{2}）=-f（x）$，若其图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得到的函数为奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c-a）cosB=bcosA，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据周期求出ω，利用图象变换求出φ，即可求f（x）的解析式；
（2）由求出的B的度数，根据三角形的内角和定理得到A+C的度数，用A表示出C，代入已知的等式，利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，由正弦函数的值域即可得到所求式子的取值范围．

解答 解：（1）∵$f（x+\frac{π}{2}）=-f（x）$，
∴f（x+π）=f（x），
∴T=π，∴ω=2，
则图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得到的函数为g（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ），
而g（x）为奇函数，则有$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈Z．
而|φ|＜$\frac{π}{2}$，
则有φ=-$\frac{π}{3}$，从而f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（2）由已知及正弦定理得：（2sinC-sinA）cosB-sinBcosA=0，
即2sinCcosB-sin（A+B）=0，
在△ABC中，由sin（A+B）=sinC
故sinC（2cosB-1）=0，
由B，C∈（0，π），则2cosB-1=0，
所以B=60°
∵△ABC是锐角三角形，C=$\frac{2π}{3}$-A＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，∴0＜2A-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴f（A）=sin（2A-$\frac{π}{3}$）∈（0，1]．

点评 此题考查学生灵活运用正弦定理及诱导公式化简求值，灵活运用三角形的面积公式及两角和的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．