Question

13．在Rt△ABC中，AB=AC=1，若一个椭圆经过A、B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在边AB上，则这个椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}-1$
• C． $\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\sqrt{6}-\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设另一焦点为D，则可再Rt△ABC中，根据勾股定理求得BC，进而根据椭圆的定义知AC+AB+BC=4a求得a．再利用AC+AD=2a求得AD最后在Rt△ACD中根据勾股定理求得CD，得到椭圆半焦距，进一步求得离心率．

解答 解：设另一焦点为D，
∵Rt△ABC中，AB=AC=1，
∴BC=$\sqrt{2}$，
∵AC+AD=2a，
∴AC+AB+BC=1+1+$\sqrt{2}$=4a，
∴a=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
又∵AC=1，∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△ACD中焦距CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
则c=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{4}}{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2+\sqrt{2}}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质和解三角形的应用．要理解好椭圆的定义和椭圆中短轴，长轴和焦距的关系是关键，是中档题．