Question

18．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}-kx$（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （0，2）
• B． （0，$\frac{{e}^{2}}{4}$）
• C． （0，e）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 求出函数的导函数，求出函数的最小值，根据函数的零点和最值关系即可得到结论．

解答 解：f（x）=0，即$\frac{{e}^{x}}{x}-kx$=0，
∵x≠0，
∴k=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
则g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，
令g′（x）=0，解得x=2，
当x＞2或x＜0时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当0＜x＜2时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
∴当x=2时，函数有极小值，即g（2）=$\frac{{e}^{2}}{4}$，
且当x＜0，时，f（x）∈（0，+∞），
∵函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}-kx$（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，结合图象可得，
∴0＜k＜$\frac{{e}^{2}}{4}$，
故选：B

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键，利用导数是解决本题的关键．