题目内容
已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，短轴长度为4；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设A，B为该椭圆上的两个不同点，C（2，0），且∠ACB=90°，当△ABC的周长最大时，求直线AB的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设A，B为该椭圆上的两个不同点，C（2，0），且∠ACB=90°，当△ABC的周长最大时，求直线AB的方程．
考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用的离心率为
，短轴长度为4，建立方程组，求出几何量，即可求椭圆的标准方程；
（2）确定周长的最大值为8
，当线段AB经过左焦点C'（-2，0）时取等号．假设直线AB的方程式为：x=my-2与椭圆方程联立，利用∠ACB=90°，可得
•
=0，结合韦达定理，即可求直线AB的方程．
| ||
| 2 |
（2）确定周长的最大值为8
| 2 |
| CA |
| CB |
解答：
解：（1）由已知可得：
，解出
所以椭圆的方程为：
+
=1
（2）易知C（2，0）恰好为椭圆的右焦点，设该椭圆的左焦点为C'（-2，0），
设△ABC的周长为l，则：l=AB+AC+BC≤(AC′+BC′)+AC+BC=(AC+AC′)+(BC+BC′)=4a=8
所以周长的最大值为8
，当线段AB经过左焦点C'（-2，0）时取等号．
由于直线AB的斜率不能为0，否则A，B，C三点共线，与∠ACB=90°相矛盾．
所以可假设直线AB的方程式为：x=my-2
将该直线和椭圆联立化简得：（m2+2）y2-4my-4=0
假设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理知：y1+y2=
，y1y2=
由已知∠ACB=90°，所以：
•
=0即：（x1-2，y1）•（x2-2，y2）=0
即：（x1-2）•（x2-2）+y1y2=0
即：（my1-4）•（my2-4）+y1y2=0
即：（m2+1）y1y2-4m（y1+y2）+16=0
将韦达定理代入上式得：(m2+1)•
-4m•
+16=0，解出：m=±
所以直线AB的方程为：x=±
y-2
|
|
所以椭圆的方程为：
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（2）易知C（2，0）恰好为椭圆的右焦点，设该椭圆的左焦点为C'（-2，0），
设△ABC的周长为l，则：l=AB+AC+BC≤(AC′+BC′)+AC+BC=(AC+AC′)+(BC+BC′)=4a=8
| 2 |
所以周长的最大值为8
| 2 |
由于直线AB的斜率不能为0，否则A，B，C三点共线，与∠ACB=90°相矛盾．
所以可假设直线AB的方程式为：x=my-2
将该直线和椭圆联立化简得：（m2+2）y2-4my-4=0
假设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理知：y1+y2=
| 4m |
| m2+2 |
| -4 |
| m2+2 |
由已知∠ACB=90°，所以：
| CA |
| CB |
即：（x1-2）•（x2-2）+y1y2=0
即：（my1-4）•（my2-4）+y1y2=0
即：（m2+1）y1y2-4m（y1+y2）+16=0
将韦达定理代入上式得：(m2+1)•
| -4 |
| m2+2 |
| 4m |
| m2+2 |
| 7 |
所以直线AB的方程为：x=±
| 7 |
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．
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