Question

近年来，我国很多城市都出现了严重的雾霾天气．为了更好地保护环境，2012年国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2014年1月1日到 2014年3月31日这90天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：

组别	PM2.5浓度（微克/立方米）	频数（天）
第一组	（0，35]	24
第二组	（35，75]	48
第三组	（75，115]	12
第四组	＞115	6

（Ⅰ）在这90天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？
（Ⅱ）在（Ⅰ）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求至少有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,分层抽样方法

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由这90天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天？
（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足至少有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵这90天中的数据中，各个数据之间存在差异，
∴这90天中抽取30天，应采取分层抽样，
则k=

30

90

=

1

3

，
则每一组抽取24×

1

3

=8天；
第二组抽取48×

1

3

=16天；
第三组抽取12×

1

3

=4天；
第四组抽取6×

1

3

=2天． …（4分）
（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，
则从6天任取2天的情况有：
AB，AC，AD，A1，A2，
BC，BD，B1，B2，CD，
C1，C2，D1，D2，12，共15种      …（8分）
记“至少有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，12共9种．
所以，所求事件A的概率P（A）=

9

15

=

3

5

．          …（12分）

点评：此题考查了古典概型概率计算公式，分层抽样，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．