题目内容
已知函数f（x）=x2-alnx，a∈R．
（1）若a=2，求函数f（x）的极小值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若方程f（x）=0在区间[
，e]上有且只有一个解，求实数a的取值范围．
（1）若a=2，求函数f（x）的极小值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若方程f（x）=0在区间[
| 2 |
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：（1）把a=2代入，求出函数的导数，解不等式得到单调区间，从而求出极值，
（2）先求出函数的导数，再分别讨论①a≤0时②a＞0时的情况，从而求出单调区间，
（3）将问题转化为：方程a=
在区间[
，e]上有且只有一个解，令g（x）=
，则g′（x）=
，从而解决问题．
（2）先求出函数的导数，再分别讨论①a≤0时②a＞0时的情况，从而求出单调区间，
（3）将问题转化为：方程a=
| x2 |
| lnx |
| 2 |
| x2 |
| lnx |
| x(2lnx-1) |
| (lnx)2 |
解答：
解：（1）a=2时，f（x）=x2-2lnx，x＞0，
∴f′（x）=
，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，x＜-1（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴x=1时，f（x）取到极小值f（1）=1，
（2）∵f′（x）=
，x＞0，
①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
②a＞0时，
令f′（x）＞0，解得：x＞
，x＜-
（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜
，
∴f（x）在（0，
）递减，在（
，+∞）递增；
综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增
a＞0时，f（x）在（0，
）递减，在（
，+∞）递增；
（3）由题意得：方程a=
在区间[
，e]上有且只有一个解，
令g（x）=
，则g′（x）=
，
令g′（x）=0，解得：x=
，
∴g（x）在（
，
）上递减，在（
，e）递增，
又g（
）=
＜g（e）=e2，
∴方程a=
在区间[
，e]上有且只有一个解时，
有
＜a≤e2，或a=2e，
∴实数a的取值范围时：{a|
＜a≤e2或a=2e}．
∴f′（x）=
| 2(x2-1) |
| x |
令f′（x）＞0，解得：x＞1，x＜-1（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴x=1时，f（x）取到极小值f（1）=1，
（2）∵f′（x）=
| 2x2-a |
| x |
①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
②a＞0时，
令f′（x）＞0，解得：x＞
|
|
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜
|
∴f（x）在（0，
|
|
综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增
a＞0时，f（x）在（0，
|
|
（3）由题意得：方程a=
| x2 |
| lnx |
| 2 |
令g（x）=
| x2 |
| lnx |
| x(2lnx-1) |
| (lnx)2 |
令g′（x）=0，解得：x=
| e |
∴g（x）在（
| 2 |
| e |
| e |
又g（
| 2 |
| 4 |
| ln2 |
∴方程a=
| x2 |
| lnx |
| 2 |
有
| 4 |
| ln2 |
∴实数a的取值范围时：{a|
| 4 |
| ln2 |
点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，参数的范围，导数的应用，是一道综合题．
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