题目内容

设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=
14
，求证：x+y+z=
3
14
7
．
考点：二维形式的柯西不等式
专题：不等式的解法及应用
分析：由条件利用二维形式的柯西不等式求得x、y、z的值，从而证得x+y+z=
3
14
7
．
解答： 证明：∵14=（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14，
∴
x
1
=
y
2
=
z
3
，∴z=3x，y=2x，又x+2y+3z=
14
，
∴x=
1
14
，y=
2
14
，z=
3
14
，∴x+y+z=
3
14
7
．
点评：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知R上的连续函数g（x）满足：
①当x＞0时，g′（x）＞0恒成立（g′（x）为函数g（x）的导函数）；
②对任意的x∈R都有g（x）=g（-x），又函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有f(
3
+x)=f(x-
3
)成立．当x∈[-
3
，
3
]时，f（x）=x3-3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a2-a+2）对x∈[-
3
2
-2
3
，
3
2
+2
3
]恒成立，则a的取值范围是（　　）
A、a∈R
B、0≤a≤1
C、-
1
2
-
3
3
4
≤a≤-
1
2
+
3
3
4
D、a≤0或a≥1
已知函数f（x）=x+
2a2
x
-alnx．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若a＞0时，函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．
对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过（2，3）点，则这条回归直线的方程为
 
．
已知y=f（x）在（0，+∞）上有意义，且单调递增，满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1）的值；
（2）若f（x+3）≤2-f（x），求x的取值范围．
已知函数f（x）=x2-alnx，a∈R．
（1）若a=2，求函数f（x）的极小值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若方程f（x）=0在区间[
2
，e]上有且只有一个解，求实数a的取值范围．
已知tan（π+α）=2，计算：
（1）
sinα+2cosα
sinα-cosα
；
（2）sin2α+sinαcosα
设数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20，数列{bn}的前n项和为Sn，b1=
2
3
且3Sn=Sn-1+2（n≥2，n∈N）．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若cn=an•bn，n=1，2，3，…，Tn为数列{cn}的前n项和，Tn＜m对n∈N*恒成立，求m的最小值．
已知锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（2c-b）cosA=acosB．
（1）求角A的值
（2）若a=
3
，则求b+c的取值范围．

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