Question

6．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足g（x）≠0，f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），f（x）=a^x•g（x），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$．令${a_n}=\frac{f（n）}{g（n）}$，则使数列{a_n}的前n项和S_n超过$\frac{15}{16}$的最小自然数n的值为（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 f（x）=a^x•g（x），g（x）≠0，构造h（x）=a^x=$\frac{f（x）}{g（x）}$，又f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），利用导数可得：函数h（x）单调递减，0＜a＜1．利用$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$．令${a_n}=\frac{f（n）}{g（n）}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$，利用等比数列的求和公式可得：数列{a_n}的前n项和S_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，由1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＞$\frac{15}{16}$，解出即可得出．

解答 解：∵f（x）=a^x•g（x），g（x）≠0，
∴h（x）=a^x=$\frac{f（x）}{g（x）}$，又f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），
∴h′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）g（x）-f（x）{g}^{′}（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，∴函数h（x）单调递减，∴0＜a＜1．
$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$．∴a+a^-1=$\frac{5}{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$．
令${a_n}=\frac{f（n）}{g（n）}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$，
则数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
由1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＞$\frac{15}{16}$=1-$\frac{1}{16}$，解得n＞4，
∴使数列{a_n}的前n项和S_n超过$\frac{15}{16}$的最小自然数n的值为5．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、指数函数的单调性、等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．