Question

14．已知点$D（1，\sqrt{2}）$在双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$上，且双曲线的一条渐近线的方程是$\sqrt{3}x+y=0$．（1）求双曲线C的方程；
（2）过点（0，1）且斜率为k的直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）点$D（1，\sqrt{2}）$代入双曲线方程，结合且双曲线的一条渐近线的方程是$\sqrt{3}$x+y=0，建立方程，求出a，b，即可求双曲线C的方程；
（2）直接联立直线与双曲线方程，化为关于x的一元二次方程，存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．

解答 解：（1）由题知，有$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{a^2}-\frac{2}{b^2}=1}\\{\frac{b}{a}=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=\frac{1}{3}}\\{{b^2}=1}\end{array}}\right.$，
因此，所求双曲线C的方程是$\frac{x^2}{{\frac{1}{3}}}-\frac{y^2}{1}=1$．
（2）∵直线l过点（0，1）且斜率为k，∴直线l：y=kx+1，
联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{3{x^2}-{y^2}=1}\\{y=kx+1}\end{array}}\right.$，得（3-k²）x²-2kx-2=0，①
设交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由①可得x₁+x₂=$\frac{2k}{3-{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$，
又以线段AB为直径的圆经过坐标原点，因此，OA⊥OB（O为坐标原点）．
于是，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，$\frac{{-2（1+{k^2}）}}{{3-{k^2}}}+\frac{{2{k^2}}}{{3-{k^2}}}+1=0$，解得k=±1．
又k=±1满足3-k²≠0，且△＞0，
所以，所求实数k=±1．

点评 本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．