Question

10．已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线与曲线4x²-$\frac{{3{y^2}}}{4}$=1（y＞0）交于点P，F为抛物线的焦点，直线PF的倾斜角为135°．则p=2．

Answer 1

分析 由题意可知：∠PFD=∠DPF=45°，△PDF为等腰直角三角形，PD=DF=p，利用抛物线的性质，即可求得P点坐标，代入双曲线方程，即可求得p的值．

解答 解：由题意可知：过点P做PD⊥DF，
的倾斜角为135°，
∴∠PFD=∠DPF=45°，
∴△PDF为等腰直角三角形，
∴PD=DF=p，
由抛物线的性质可知，P的横坐标为：x=-$\frac{p}{2}$，
∴P点坐标为（-$\frac{p}{2}$，p），
代入双曲线4x²-$\frac{{3{y^2}}}{4}$=1，整理得：p²=4，
由p＞0，
∴P=2，
故答案为：2．

点评 本题考查抛物线的方程及抛物线性质的简单应用，考查数形结合思想，属于基础题．