Question

数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1，数列{b_n}是等差数列且 b₁=a₁，b₄=a₁+a₂+a₃．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设C_n=

1

bnbn+1

，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：证明题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设数列{b_n}的公差为d，依题意，可求得b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，从而可求得d及数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法易知c_n=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），从而可求T_n=

1

2

（1-

1

2n+1

），继而可证结论成立．

解答： 解：（I）设数列{b_n}的公差为d，又an=2n-1
∴b₁=a₁=1，b₄=1+3d=a₁+a₂+a₃=1+2+4=7，
∴d=2，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1------------（5分）
（II）c_n=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
∵n∈N^*，∴T_n=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

------------（12分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式及裂项法求和，考查运算能力，属于中档题．