Question

已知函数f（x₁）=

2

x+1

，f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），且a_n=

fn(0)-1

fn(0)+2

（1）求证：{a_n}为等比数列，并求其通项公式；
（2）设b_n=

(-1)n-1

2an

，g（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（n∈N^*），求证：g（b_n）≥

n+2

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）依题意，可求得a₁=

1

4

，

an+1

an

=-

1

2

，从而可证得数列{a_n}是首项为1，公比为-

1

2

的等比数列，继而可得其通项公式；
（2）要证g（b_n）≥

n+2

2

，只要证：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

≥

n+2

2

，利用数学归纳证明即可．

解答： 证明：（1）∵a1=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

1

4

，

an+1

an

=

fn+1(0)-1 fn+1(0)+2

fn(0)-1 fn(0)+2

=

2 fn(0)+1 -1 2 fn(0)+1 +2

fn(0)-1 fn(0)+2

=

1-fn(0) 2fn(0)+4

fn(0)-1 fn(0)+2

=-

1

2

，
∴数列{a_n}是首项为

1

4

，公比为-

1

2

的等比数列，
∴a_n=

1

4

•(-

1

2

)n-1．
（2）∵bn=2n，g(bn)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

，要证g（b_n）≥

n+2

2

，
只要证：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

≥

n+2

2

下面用数学归纳证明：n=1时，1+

1

2

=

1+2

2

，结论成立；
假设n=k，（k≥1）成立，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

＞

k+2

2

，
那么：n=k+1，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＞

k+2

2

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＞

k+2

2

+

1

2k+1

+

1

2k+1

…+

1

2k+1

＞

k+2

2

+

1

2k+1

2k=

k+3

2

，即n=k+1时，结论也成立，
∴n∈N，结论成立，即g（b_n）≥

n+2

2

．

点评：本题考查数列递推关系的应用，着重考查等比关系的确定与数学归纳法的应用，考查运算、推理论证的能力，属于难题．