题目内容
已知双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2．F1、F2分别是它的左、右焦点，点A是它的右顶点．过F1作一条斜率为k（k≠0）的直线与双曲线交于两个点M、N．则∠MAN=（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| A、30° | B、45° |
| C、60° | D、90° |
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由于离心率e=2，可得c2=4a2=a2+b2，得到b2=3a2．双曲线方程可表示为3x2-y2=3a2．设点M（x1，y1），N（x2，y2）．直线MN的方程为x=my-2a，与双曲线的方程联立得到根与系数的关系，再利用数量积
•
=0即可得出．
| AM |
| AN |
解答：
解：∵双曲线的离心率e=2，∴c2=4a2=a2+b2，得到b2=3a2，
则双曲线方程为3x2-y2=3a2．
设点M（x1，y1），N（x2，y2）．直线MN的方程为x=my-2a，与双曲线方程联立得（3m2-1）y2-12amy+9a2=0，∴y1+y2=
，y1y2=
，
则
•
=（x1-a）（x2-a）+y1y2=（my1-3a）（my2-3a）+y1y2=0，
∴AM⊥AN
∴∠MAN=90°．
故选D．
则双曲线方程为3x2-y2=3a2．
设点M（x1，y1），N（x2，y2）．直线MN的方程为x=my-2a，与双曲线方程联立得（3m2-1）y2-12amy+9a2=0，∴y1+y2=
| 12am |
| 3m2-1 |
| 9a2 |
| 3m2-1 |
则
| AM |
| AN |
∴AM⊥AN
∴∠MAN=90°．
故选D．
点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与数量积运算的关系等基础知识与基本技能，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
当x＞
时，则f（x）=2x+
（ ）
| 5 |
| 2 |
| 1 |
| 2x-5 |
| A、有最小值3 |
| B、有最大值3 |
| C、有最小值7 |
| D、有最大值7 |
已知函数f（x）=ex+x2-x，若对任意x1，x2∈[-1，1]，|f（x1）-f（x2）|≤k恒成立，则k的取值范围是（ ）
| A、[e-1，+∞） |
| B、[e，+∞） |
| C、[e+1，+∞） |
| D、[1，+∞） |
四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为12，点E、F分别为棱AB、AC的中点，则球O截直线EF所得弦长为（ ）
A、6
| ||
| B、12 | ||
C、6
| ||
D、6
|
已知数列{an}满足a1=1，an=an-12-1（n＞2，n∈N*），则a3的值为（ ）
| A、0 | ||
| B、-1 | ||
| C、1 | ||
D、
|
对于有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表：
根据表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为
=8.5x+
，据此模型来预测x=20时，y的估计值是（ ）
| x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
| y | 20 | 40 | 60 | 60 | 70 |
 |
| y |
|
| a |
| A、170 | B、175.5 |
| C、177.5 | D、212.5 |
