Question

设f（x）=sin

x

2

-2cos

x

2

的一条对称轴为x=θ，则sinθ=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用辅助角公式可得f（x）=

5

sin（

x

2

-φ），其中cosφ=

1

5

，sinφ=

2

5

，再由f（x）=sin

x

2

-2cos

x

2

的一条对称轴为x=θ，可得sinθ=sin（2kπ+π+2φ），利用诱导公式与二倍角的正弦即可求得答案．

解答： 解：f（x）=sin

x

2

-2cos

x

2

=

5

（

1

5

sin

x

2

-

2

5

cos

x

2

）
=

5

sin（

x

2

-φ）．其中cosφ=

1

5

，sinφ=

2

5

，对称轴为：

x

2

-φ=kπ+

π

2

，k∈Z，
即x=2kπ+π+2φ，k∈Z，
又对称轴为x=θ，
得sinθ=sin（2kπ+π+2φ）=-sin2φ=-2sinφcosφ=-2×

2

5

×

1

5

=-

4

5

，
故答案为：-

4

5

．

点评：本题考查两角差的正弦，突出考查辅助角公式的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．