Question

已知函数f（x）=lnx-ax．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间[1，e]上的最大值为2，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出当a=1时，f（x）的解析式和导数，求出切线的斜率和切点，即可得到切线方程；
（2）求出导数，讨论当a＞0，分若

1

a

≤1，若

1

a

≥e，若1＜

1

a

＜e，当a≤0时，通过函数的单调性，得到函数的最大值，解出即可得到a的值．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=lnx-x，
导数f′（x）=

1

x

-1，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=0，
又切点为（1，-1），
则切线方程为：y=-1；
（2）定义域为（0，+∞），f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，
①若a＞0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜

1

a

，f′（x）＜0，得x＞

1

a

，
∴f（x）在（0，

1

a

）上单调递增，在（

1

a

，+∞）单调递减．
若

1

a

≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]单调递减，
∴f（x）_max=f（1）=-a=2，a=-2不成立；
若

1

a

≥e，即0＜a≤

1

e

时，f（x）在[1，e]单调递增，
∴f（x）_max=f（e）=1-ae=2，
∴a=-

1

e

不成立；
若1＜

1

a

＜e，即

1

e

＜a＜1时，f（x）在（1，

1

a

）单调递增，在（

1

a

，e）单调递减，
∴f（x）_max=f（

1

a

）=-1-lna=2，解得，a=e^-3，不成立．
②当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则有f（x）在[1，e]递增，
则有f（e）最大，且为1-ae=2，解得a=-

1

e

．
综上知，a=-

1

e

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查求切线方程和函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，正确求导，合理分类是关键．