Question

19．已知等差数列{a_n}满足：a₁=101，a₃+a₄=187，求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 由题意可知a₁=101，a₃+a₄=a₁+a₆=187，求得a₆=86，根据等差数列的性质，即可求得d，根据等差通项公式即可求得数列{a_n}的通项公式，由当n≤34时，求得T_n=$\frac{1}{2}[101+（-3n+104）]•n=-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{205}{2}n$，当n≥35时，求得T_n=$\frac{3}{2}{n^2}-\frac{205}{2}n+3502$，即可求得数列{|a_n|}的前n项和T_n．

解答 解：∵a₁=101，a₃+a₄=a₁+a₆=187，
∴a₆=86
∴a₆-a₁=5d=-15，
∴a_n=-3n+104$|{a_n}|=\left\{\begin{array}{l}-3n+104\\ 3n-104\end{array}\right.$$\begin{array}{l}n∈\left\{{1，2，3，…，34}\right\}\\ n∈\left\{{35，35，37，…}\right\}\end{array}$，
当n∈{1，2，3，…，34}时，
T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|，
=$\frac{1}{2}[101+（-3n+104）]•n=-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{205}{2}n$，
当n∈{35，35，37，…}时，
T_n=（|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₃₄|）+（|a₃₅|+|a₃₆|+…+|a_n|），
=$\frac{1}{2}（101+2）•34+\frac{1}{2}[1+（3n-104）]•（n-34）$，
=$\frac{3}{2}{n^2}-\frac{205}{2}n+3502$，
∴${T_n}=\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{205}{2}n\\ \frac{3}{2}{n^2}-\frac{205}{2}n+3502\end{array}\right.$$\begin{array}{l}（n≤34）\\ \\（n≥35）\end{array}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查含有绝对值的等差数列前n项和公式的求法，考查分类讨论思想，属于中档题．