Question

66⁶⁶÷7的余数为

 

．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：由条件利用二项式定理，把66⁶⁶÷7的余数化为3⁶⁶除以7的余数，再化为2³³=（1+7）¹¹ 除以7的余数，由此根据二项式定理把它展开，从而求得它除以7的余数．

解答： 解：∵66⁶ =（3+63）⁶⁶=

C

0 66

3⁶⁶+

C

1 66

•365•63+

C

2 66

•3³⁴•63²+…+

C

66 66

•63⁶⁶，
由于展开式除了第一项外，其余的项都能倍7整除，故 66⁶⁶÷7的余数，就是展开式的第一项除以7的余数，即3⁶⁶除以7的余数．
又3⁶⁶=9³³=（2+7）³³=

C

0 33

2³³+

C

1 33

•2³²•7+

C

2 33

•2³¹•7²+…+

C

33 33

•7³³，在此展开式中，除了第一项外，其余的项都能倍7整除，
故3⁶⁶除以7的余数就是2³³除以7的余数．
又2³³=（1+7）¹¹=

C

0 11

+

C

1 11

•7+

C

2 11

•7²+…+

C

11 11

•7¹¹，在此展开式中，除了第一项外，其余的项都能倍7整除，
故2³³除以7的余数就是展开式的第一项

C

0 11

=1，
故答案为：1．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．