Question

16．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一个顶点的坐标为（0，-1），且右焦点F到直线x-y+1=0的距离为$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线$y=\frac{5}{3}$上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{NQ}$？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由b=1，利用点到直线的距离公式，求得a和c的值，求得椭圆方程；
（2）假设存在直线l的方程，代入椭圆方程，由△＞0，求得t取值范围，利用韦达定理，中点坐标公式，求得D点坐标，由四边形PMQN为平行四边形，则D为线段PQ的中点，求得Q的纵坐标，根据t的取值范围即可判断Q不在椭圆上，故直线l的方程不存在．

解答 解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，则b=1，F（c，0），
∴$\sqrt{2}=\frac{|c+1|}{{\sqrt{2}}}$，$c=1，\;\;a=\sqrt{2}$，
故椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）设直线l的方程为y=2x+t，
设$M（{x_1}，\;\;{y_1}），\;\;N（{x_2}，\;\;{y_2}），P（{{x_3}，\;\;\frac{5}{3}}），\;\;Q（{x_4}，\;\;{y_4}）$，MN的中点为D（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}y=2x+t，\;\;\\{x^2}+2{y^2}=2，\;\;\end{array}\right.$消去x，得9y²-2ty+t²-8=0，
则${y_1}+{y_2}=\frac{2t}{9}$，且△=4t²-36（t²-8）＞0，解得：-3＜t＜3，
故${y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{t}{9}$，
由$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{NQ}$，知四边形PMQN为平行四边形，
而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点，
∴${y_0}=\frac{{\frac{5}{3}+{y_4}}}{2}=\frac{t}{9}$，
可得${y_4}=\frac{2t-15}{9}$，
又-3＜t＜3，可得$-\frac{7}{3}＜{y_4}＜-1$，
因此点Q不在椭圆上，
故不存在满足题意的直线l．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及判别式的应用，考查计算能力，属于中档题．