题目内容
6．过双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与E的渐近线交于B，C两点，若$\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow 0$，则双曲线E的渐近线方程为（ ）| A． | y=±$\sqrt{3}$x | B． | y=±4x | C． | y=±$\sqrt{2}$x | D． | y=±2x |
分析 分别表示出直线l和两个渐近线的交点，利用$\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow 0$，$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AB}$，求得a和b的关系，可得双曲线E的渐近线方程．
解答 
解：直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B（$\frac{{a}^{2}}{a+b}$，$\frac{ab}{a+b}$），
l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（$\frac{{a}^{2}}{a-b}$，-$\frac{ab}{a-b}$），A（a，0），
∵$\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow 0$，∴$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AB}$
∴$\frac{{a}^{2}}{a-b}$-a=3（$\frac{{a}^{2}}{a+b}$-a），
∴b=2a，
∴双曲线E的渐近线方程为y=±2x．
故选：D．
点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．
练习册系列答案
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1．设（1+i）x=1+yi，x，y∈R，则|x+yi|=（ ）
| A． | 1 | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 2 |
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象（部分）如图所示，则f（x）的解析式是f（x）=2sin（πx+$\frac{π}{6}$），x∈R．
15．如果$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$是平面内所有向量的一组基底，那么（ ）
| A． | 该平面内存在一向量$\overrightarrow a$不能表示$\overrightarrow a=m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}$，其中m，n为实数 | |
| B． | 若向量$m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}$与$\overrightarrow a$共线，则存在唯一实数λ使得$m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}=λ\overrightarrow a$ | |
| C． | 若实数m，n使得$m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow 0$，则m=n=0 | |
| D． | 对平面中的某一向量$\overrightarrow a$，存在两对以上的实数m，n使得$\overrightarrow a=m\overrightarrow{e_1}+n\overrightarrow{e_2}$ |