Question

10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且三个内角A，B，C满足A+C=2B．
（1）若b=2，求△ABC的面积的最大值，并判断取最大值时三角形的形状；
（2）若$\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosC}=-\frac{{\sqrt{2}}}{cosB}$，求$cos\frac{A-C}{2}$的值．

Answer 1

分析 （1）先由条件求出B=$\frac{π}{3}$，根据三角形的面积公式求出A=$\frac{π}{3}$，即可△ABC是等边三角形，
（2）设$α=\frac{A-C}{2}$，则A-C=2α，可得A=60°+α，C=60°-α，根据两角和差的余弦公式整理化简可得$\frac{cosα}{{{{cos}^2}α-\frac{3}{4}}}-=-2\sqrt{2}$，解得即可

解答 解：（1）由题设条件知$B={60°}，A+C={120°}，{S_{△ABC}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}sin（{2A-\frac{π}{6}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
${（{{S_{△ABC}}}）_{max}}=\sqrt{3}$，
此时$A=\frac{π}{3}$，又$B=\frac{π}{3}$，
所以△ABC是等边三角形．
（2）由题设条件知B=60°，A+C=120°，设$α=\frac{A-C}{2}$，
则A-C=2α，可得A=60°+α，C=60°-α，
∴$\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosC}=\frac{1}{{cos（{{{60}°}+α}）}}+\frac{1}{{cos（{{{60}°}-α}）}}$=$\frac{1}{{\frac{1}{2}cosα-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinα}}+\frac{1}{{\frac{1}{2}cosα+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinα}}=\frac{cosα}{{\frac{1}{4}{{cos}^2}α-\frac{3}{4}{{sin}^2}α}}=\frac{cosα}{{{{cos}^2}α-\frac{3}{4}}}$，
依题设条件有$\frac{cosα}{{{{cos}^2}α-\frac{3}{4}}}=\frac{{-\sqrt{2}}}{cosB}$，
∵$cosB=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{cosα}{{{{cos}^2}α-\frac{3}{4}}}-=-2\sqrt{2}$，
整理得$4\sqrt{2}{cos^2}a+2cosa-3\sqrt{2}=0，（{2cosa-\sqrt{2}}）（{2\sqrt{2}cosa+3}）=0$，
∵$2\sqrt{2}cosa+3≠0$，
∴$2cosa-\sqrt{2}=0$．
从而得$cos\frac{A-C}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了三角形的面积公式两角和差的余弦公式，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题