Question

19．  已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极大值5，其导函数y=f'（x）的图象如图所示，且经过点（1，0），（2，0）．
（1）求x₀的值以及f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）-m=0恰有2个根，求m的值．

Answer 1

分析 （1）结合图象求出函数的单调区间，从而求出x₀的值以及f（x）的解析式；（2）结合（1）求出函数的极大值和极小值，求出m的值即可．

解答 解：（1）由题意得，
在（-∞，1）上，f′（x）＞0，f（x）递增，
在（1，2）上，f′（x）＜0，f（x）递减，
在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增，
故f（x）极大值=f（1）=af（x₀）=5，故x₀=1，
f′（x）=3ax²+2bx+c，
由f′（1）=0，f′（2）=0，f（1）=5，
得$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b+c=0}\\{12a+4b+c=0}\\{a+b+c=5}\end{array}\right.$，
解得：a=2，b=-9，c=12，
故f（x）=2x³-9x²+12x；
（2）若方程f（x）-m=0恰有2个根，
即m=f（x）有2个交点，
由（1）得：f（x）=2x³-9x²+12x，
f（x）_极大值=f（1）=5，f（x）_极小值=f（2）=4，
故m=5或m=4．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．