Question

5．已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=$\frac{1}{5}$．
（1）求tanα的值；
（2）$\frac{{sin（{\frac{3π}{2}+α}）sin（{\frac{π}{2}-α}）{{tan}^3}（{π-α}）}}{{cos（{\frac{π}{2}+α}）cos（{\frac{3π}{2}-α}）}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由同角三角函数的基本关系式可得由$\left\{{\begin{array}{l}{sinα+cosα=\frac{1}{5}}\\{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α=1}\end{array}}\right.$，解可得sinα、cosα的值，由tanα=$\frac{sinα}{cosα}$计算可得答案．
（2）利用诱导公式直接化简可得原式=tanα，由（1）的结论即可得答案．

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{sinα+cosα=\frac{1}{5}}\\{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α=1}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{sinα=\frac{4}{5}}\\{cosα=-\frac{3}{5}}\end{array}}\right.$故$tanα=-\frac{4}{3}$．
（2）原式=$\frac{{（{-cosα}）cosα（{-{{tan}^3}α}）}}{{（{-sinα}）（{-sinα}）}}=tanα=-\frac{4}{3}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，关键是掌握常见的三角函数的恒等变形公式并熟练运用．