Question

20．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin²B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=$\frac{1}{4}$，则$\frac{c}{a}$=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 3
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由正弦定理将sin²B=2sinAsinC，转换成b²=2ac，根据余弦定理化简得：a²+c²-$\frac{5}{2}$ac=0，同除以a²，解方程得$\frac{c}{a}$的值，根据条件判断$\frac{c}{a}$的值从而得解．

解答 解：三角形ABC中，sin²B=2sinAsinC，由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
得：b²=2ac，
由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，
即：a²+c²-$\frac{5}{2}$ac=0，等号两端同除以a²，
得：1+（$\frac{c}{a}$）²-$\frac{5}{2}$•$\frac{c}{a}$=0，
令t=$\frac{c}{a}$，t＞0，则可得：t²-$\frac{5}{2}$t+1=0，
解得：t=2，或$\frac{1}{2}$，
由于：a＞c，
可得：t=$\frac{1}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理与一元二次方程相结合，计算过程简单，属于基础题．