Question

12．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=4，M为CE中点，现将梯形ABCD沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD的中点．

（Ⅰ）证明：MN∥平面ADFE；
（Ⅱ）求二面角M-NA-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接ED，MN∥ED，根据线面平行的判定定理即可证明：MN∥平面ADFE；
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角M-NA-F的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连接ED，MN∥ED，
又MN?平面EFDA，ED?平面EFDA
所以MN∥平面EFDA
（Ⅱ）由题意平面EFDA⊥平面EFCB，平面EFDA∩平面EFCB=EF，CF⊥EF，CF?平面EFCB
所以CF⊥平面EFDA，
以F为坐标原点，FE方向为x轴，FD方向为y轴，FC方向为Z轴，建立空间直角坐标系．
由题意F（0，0，0），E（2，0，0），C（0，0，2），D（0，2，0），M（1，0，1），N（0，1，1），A（2，1，0），
设平面AMN的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{AM}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{AN}$=（-2，0，1），
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AM}$=-x-y+z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AN}$=-2x+z=0，
令x=1，则z=2，y=1，即平面AMN的法向量为，$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
同理得平面AFN的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，-2，2），
设所求的二面角为θ
则|cosθ|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
又所求二面角为锐角，）
所以求二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法解二面角是解决本题的关键．