Question

4．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．
（Ⅰ）写出C₁的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1经伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{2}x}\\{y′=y}\end{array}\right.$后得到曲线C₃，射线θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）分别与C₁和C₃交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，消去参数，即可解得方程C₁的极坐标方程；
（Ⅱ）求得C₃的方程，即可由OA，OB的长解得AB的长．

解答 解：（Ⅰ）将$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．消去参数α，化为普通方程为（x-2）²+y²=4，
即C₁：x²+y²-4x=0，（2分）
将$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入C₁：x²+y²-4x=0，得ρ²=4ρcosθ，（4分）
所以C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ．（5分）
（Ⅱ）将$\left\{\begin{array}{l}{x=2{x}^{′}}\\{y={y}^{′}}\end{array}\right.$代入C₂得x′²+y^′2=1，
所以C₃的方程为x²+y²=1．（7分）
C₃的极坐标方程为ρ=1，所以|OB=1|．
又|OA|=4cos$\frac{π}{3}$=2，
所以|AB|=|OA|-|OB|=1．（10分）

点评 本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．