Question

2．已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．
（1）若y=f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．
①求函数g（x）的解析式，并用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象；
②对任意a∈R，求函数y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的单调性可得ω•$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，由此求得ω的取值范围．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象，三角函数的零点个数判断．

解答 解：（1）∵在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]上，函数f（x）=2sin（ωx）单调递增，∴ω•$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，
求得ω≤$\frac{3}{4}$，∴ω的取值范围为（0，$\frac{3}{4}$]．
（2）①令ω=2，将函数y=f（x）=2sin2x 的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，可得y=2sin2（x+$\frac{π}{6}$） 的图象，
再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1的图象．
即函数g（x）的解析式为 g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1．
列表：

2x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
g（x）	1	3	1	-1	1

作图：

并用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象．
②对任意a∈R，由于函数y=g（x）的周期为π，g（x）在区间[a，a+10π]上，共有10个周期，
故函数g（x）的零点最多有21个零点，最少有19个零点．
零点个数的所有可能值为21、20、19．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性和零点，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．