给出下列命题中①“?x∈R.3x＞5 的否定是“?x∈R.3x≤5 ,②命题“函数f(x) 在x=x0处有极值.则f′(x0)=0 的否命题是真命题,③在△ABC中.D是BC中点.若AD•BC=12(a2-ac).则B=π3,④定义在R上的函数y=f.(x-52)f′(x)＞0.已知x1＜x2.则f(x1)＞f(x2)是x1+x2＜5的充要条件．以上命题正确� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

给出下列命题中
①“?x∈R，3^x＞5”的否定是“?x∈R，3^x≤5”；
②命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x₀）=0”的否命题是真命题；
③在△ABC中，D是BC中点，若

•

(a2-ac)，则B=

；
④定义在R上的函数y=f（x）满足f（5+x）=f（-x），(x-

)f′(x)＞0，已知x₁＜x₂，则f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的充要条件．
以上命题正确的个数是（　　）

A、1

B、2

C、3

D、4

考点：命题的真假判断与应用

专题：导数的综合应用,平面向量及应用,简易逻辑

分析：①写出特称命题的否定，判断命题①正确；
②写出命题的否命题，举例说明否命题为假命题，从而说明命题②是假命题；
③把向量

，

用基底

，

表示，代入向量模后得到a，b，c的关系，然后利用余弦定理求角B；
④先求出对称轴，然后根据(x-

)f′(x)＞0，可判定函数在对称轴两侧的单调性，最后根据函数的单调性可验证是充要条件．

解答： 解：对于①，“?x∈R，3^x＞5”的否定是“?x∈R，3^x≤5”．
命题①正确；
对于②，命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x₀）=0”的否命题是：
“函数f（x）在x=x₀处无极值，则f′（x₀）≠0”，为假命题，如f（x）=x³在x=0处无极值，但f′（0）=0．
∴命题②错误；
对于③，如图，

由

•

(a2-ac)，得

(

)•(

(a2-ac)，
∴

2=a2-ac，即b²-c²=a²-ac．
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

．
∴B=

．
命题③正确；
对于④，∵f（5+x）=f（-x），
∴函数f（x）关于x=

对称，
∵(x-

)f′(x)＞0，
∴x＞

时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x＜

时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
当x₁＜x₂时，若f（x₁）＞f（x₂），则有x₁＜x₂＜5-x₁，
∴x₁+x₂＜5成立，故条件充分；
当x₁+x₂＜5时，必有x₂＜5-x₁成立，
又∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）＞f（x₂）成立，故必要．
∴f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的充要条件．
命题④正确．
∴正确命题的个数是3．
故答案为：3．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数的导数与极值间的关系，训练了利用导函数的符号判断原函数的单调性，训练了平面向量在解三角形中的应用，是中档题．