Question

过抛物线y²=2px（p＞0）焦点的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|的最小值为（　　）

• A、

  p

  2

• B、p
• C、2p
• D、无法确定

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：分类讨论，设方程为y=k（x-

p

2

）与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得x₁+x₂．再利用弦长公式|AB|=x₁+x₂+p，即可得到结论．

解答： 解：抛物线y²=2px（p＞0）焦点坐标为（

p

2

，0），则
斜率存在时，设方程为y=k（x-

p

2

），代入抛物线y²=2px可得k²x²-（k²p+2p）x+

k2p2

4

=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=p+

2p

k2

，
∴|AB|=x₁+x₂+p=2p+

2p

k2

＞2p，
斜率不存在时，方程为x=

p

2

，|AB|=x₁+x₂+p=2p，
∴|AB|的最小值为2p．
故选：C．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．