Question

已知平面内的动点P到两定点M（-2，0）、N（1，0）的距离之比为2：1．
（Ⅰ）求P点的轨迹方程；
（Ⅱ）过M点作直线，与P点的轨迹交于不同两点A、B，O为坐标原点，求△OAB的面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设P（x，y），由已知条件利用两点间距离公式得

(x+2)2+y2

=2

(x-1)2+y2

，由此能求出P点的轨迹方程．
（Ⅱ）设直线AB方程为y=k（x+2），由

y=k(x+2) (x-2)2+y2=4

，得（1+k²）x²+4（k²-1）x+4k²=0，由△＞0，得到0＜k2＜

1

3

，由此能求出△OAB的面积的最大值．

解答： （本题满分14分）
解：（Ⅰ）设P（x，y），
∵动点P到两定点M（-2，0）、N（1，0）的距离之比为2：1，
∴|PM|=2|PN|，
∴

(x+2)2+y2

=2

(x-1)2+y2

，
化简得（x-2）²+y²=4，
∴所求的P点的轨迹方程为（x-2）²+y²=4．…（5分）
（Ⅱ）由题设知直线AB斜率存在且不为零，
设直线AB方程为y=k（x+2）（k≠0）
由

y=k(x+2) (x-2)2+y2=4

，消去y得，（1+k²）x²+4（k²-1）x+4k²=0，
由△=16（k²-1）²-16k²（1+k²）=16（1-3k²）＞0，
解得k2＜

1

3

．
∴0＜k2＜

1

3

，…（8分）

x1+x2= 4(1-k2) 1+k2 x1x2= 4k2 1+k2

，
S_△OAB=S_△OMB-S_△OMA
=

1

2

×2|y1-y2|
=|k||x₁-x₂|
=|k|

(x1+x2)2-4x1x2

=4

k2(1-3k2) (1+k2)2

=4

-3(k2+1)2+7(k2+1)-4 (1+k2)2

，…（11分）
令t=

1

t2+1

，考察函数f（t）=-4t²+7t-3，t∈（

3

4

，1）
f（t）=-4t²+7t-3
=-4（t-

7

8

）²+

1

16

≤

1

16

，
当t=

7

8

，即t=±

7

7

时取等号，
此时S_max=1，即△OAB的面积的最大值为1．…（14分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．