Question

设有无穷数列{a_n}，且{n_k}为正整数集N^*的无限子集，n₁＜n₂＜…n_k＜…，则数列an1，an2，…，ank，…称为数列{a_n}的一个子列，记为{ank}．下面关于子列的三个命题
①对任何正整数k，必有n_k≥k；
②已知{a_n}为等差数列，则“{n_k}为等差数列”是“{ank}为等差数列”的充分不必要条件；
③已知{a_n}为等比数列，则“{n_k}为等差数列”是“{ank}为等比数列”的充分不必要条件．
真命题的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,新定义,等差数列与等比数列,简易逻辑

分析：由题设根据所给的定义结合等差与等比数列的性质对三个命题进行判断即可得出三个命题的真假

解答： 解：①由题意，{n_k}为正整数集N^*的无限子集，n₁＜n₂＜…n_k＜…，仅当n_k=k，（k=1，2，3，..）时，n_k=k，否则n_k＞k，故①正确；
②当{a_n}为等差数列时令其公差为d，若“{n_k}为等差数列”，令其公差为q，则ank-ank-1=d（ nk- nk-1）=qd是一个常数，故充分性成立，反之，“{ank}为等差数列”时，令其各项为0，0，0，…，则此时得不出“{n_k}为等差数列”即必要性不成立，故②正确；
③{a_n}为等比数列，令其公比为q，若若“{n_k}为等差数列”，令其公差为d，则

ank

ank-1

=qnk-nk-1=qd是一个常数，故充分性成立，反之，“{ank}为等比数列”，令其各项为1，1，1，…，由此时由“{ank}为等比数列”得不出“{n_k}为等差数列”，故必要性不成立，故③正确
综上，三个命题都是正确命题．
故选：D．

点评：本题考查命题的真假判断，解答的关键是理解定义，熟练掌握等差与等比数列的性质及充分条件必要条件的，本题综合性强，涉及到的知识点多，极易因为知识掌握不全面导致无法入手，平时学习时要注意积累基础知识，注意拓宽知识面