Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n（n-6），数列{b_n}满足b₂=3，b_n+1=3b_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项的公式
（Ⅱ）记数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，求T_n＜2014时n的最大值．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，验证n=1，可求数列{a_n}的通项的公式；利用b_n+1=3b_n，可得{b_n}的通项的公式
（Ⅱ）利用错位相减法求数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，从而可求T_n＜2014时n的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-7，
又a₁=S₁=-5=2×1-7，∴a_n=2n-7．
又b_n+1=3b_n，所以{b_n}是公比为3的等比数列，bn=3n-1．
（Ⅱ）T_n=（-5）•1+（-3）•3+…+（2n-7）•3^n-1①，
3T_n=（-5）•3+（-3）•3²+…+（2n-7）•3ⁿ②
①-②得，-2Tn=(-5)•1+2•3+2•32+…+2•3n-1-(2n-7)•3n
=-5+

6(1-3n-1)

1-3

-(2n-7)•3n=-8+3ⁿ-（2n-7）•3ⁿ=-8-（2n-8）•3ⁿ．
所以Tn=(n-4)•3n+4．
由Tn=(n-4)•3n+4＜2014得n≤6，
所以n的最大值为6．

点评：本题综合考查了等差数列与等比数列的性质的综合应用，考查错位相减法，考查学生的计算能力，属于中档题．