Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，且存在常数p，r，t（其中r≠0），使得a_n+a_n+1=r•2^n-1与a_n+1=pa_n-pt对任意正整数n都成立；数列{b_n}为等差数列．
（1）求常数p，r，t．并写出数列{a_n}的通项公式；
（2）如果{b_n}满足条件：①b₁为正整数；②公差为1；③项数为m（m为常数）；④2（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

）=log₂a_m，试求所有满足条件的m值．
（3）如果数列{a_n}与数列{b_n}没有公共项，数列{a_n}与{b_n}的所有项按从小到大的顺序排列成：1，c₂，c₃，c₄，4，…，且1，c₂，c₃，c₄，4成等比数列，试求满足条件的所有数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的应用,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1=pa_n-pt对任意正整数n都成立，再写一式，两式相加，可得r•2^n-1（p-2）-2pt=0，令n=1，2，即可求常数p，r，t．并写出数列{a_n}的通项公式；
（2）先得出m=3+

6

b1-2

，即可求所有满足条件的m值．
（3）先判断b₁，b₂在前5项中，而b₃不在，即b₃＞4，再分类讨论，即可求满足条件的所有数列{b_n}的通项公式．

解答： 解：（1）∵a_n+1=pa_n-pt对任意正整数n都成立，
∴a_n+2=pa_n+1-pt，
两式相加可得a_n+1+a_n+2=p（a_n+a_n+1）-2pt，
∵a_n+a_n+1=r•2^n-1，
∴r•2ⁿ=pr•2^n-1-2pt，
即r•2^n-1（p-2）-2pt=0，
令n=1，2得，r•（p-2）-2pt=0，r•2（p-2）-2pt=0，
∴p=2，t=0，
∴a_n+1=2a_n，
∴a_n=2^n-1，
∵a_n+a_n+1=r•2^n-1，
∴2^n-1+2ⁿ=r•2^n-1，
∴r=3；
（2）由2（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

）=log₂a_m，b_n=b_n-1+1，
∴2•

bm+1

b1

=m-1，
∵b_m=b₁+（m-1），
代入整理可得m=3+

6

b1-2

，
∵b₁，m为正整数，
∴

b1=3 m=9

或

b1=4 m=6

或

b1=5 m=5

或

b1=8 m=4

，
∴m取4，5，6，9；
（3）由已知，a₁=1，a₂=2，a₃=4，故数列{a_n}共3项在1，c₂，c₃，c₄，4，…，的前5项中，
∴b₁，b₂在前5项中，而b₃不在，即b₃＞4．
①若1，2之间无{b_n}的项，则c₂=2，前4项1，2，c₃，c₄，成等比数列，则公比为

2

，
∴c₁=4为其前三项，与已知矛盾；
②若1，2之间有且只有{b_n}的一项b₁，则1，b₁，2成等比数列，则公比为2，
∴前5项为1，

2

，2，2

2

，4，满足条件，此时b_n=

2

n；
③1，2之间有且只有{b_n}的两项b₁，b₂，则前4项1，b₁，b₂，2，
∴公差d＜1，则b₃=b₂+d=2+1=3与b₃＞4矛盾．
∴b_n=

2

n满足条件．

点评：本题考查数列的递推式，考查数列的通项，考查分类讨论的数学思想，考查小时分析解决问题的能力，难度大．