题目内容
（理）已知定义在R上的函数f（x），对任意实数x1，x2都有f（x1+x2）=1+f（x1）+f（x2），且f（1）=1．
（1）若对任意正整数n，有an=f（
）+1，求a1、a2的值，并证明{an}为等比数列；
（2）设对任意正整数n，有bn=
，若不等式bn+1+bn+2+…+b2n＞
log2（x+1）对任意不小于2的正整数n都成立，求实数x的取值范围．
（1）若对任意正整数n，有an=f（
| 1 |
| 2n |
（2）设对任意正整数n，有bn=
| 1 |
| f(n) |
| 6 |
| 35 |
考点：抽象函数及其应用,数列的求和
专题：点列、递归数列与数学归纳法
分析：（1）利用赋值法，结合等比数列的定义即可证明{an}为等比数列；
（2）求出bn的表达式，利用数列的单调性，即可求出x的取值范围．
（2）求出bn的表达式，利用数列的单调性，即可求出x的取值范围．
解答：
解：（1）令x1=x2=
，得f(1)=1+f(
)+f(
)，
则f(
)=0，a1=f(
)+1=1…1分
令x1=x2=
，得f(
)=1+f(
)+f(
)，
则f(
)=-
，a2=f(
)+1=
…2分
令x1=x2=
，得f(
+
)=1+f(
)+f(
)，
即f(
)=1+2f(
)，…4分
则f(
)+1=2[1+f(
)]，an=2an+1
所以，数列{an}是等比数列，公比q=
，首项a1=1．…6分
（2）令x1=n，x2=1，得f（n+1）=1+f（1）+f（n），即f（n+1）=f（n）+2
则{f（n）}是等差数列，公差为2，首项f（1）=1，
故f（n）=1+（n-1）•2=2n-1，…8分
bn=
=
．…9分
设g(n)=bn+1+bn+2+…+b2n=
+
+…+
，
则g(n+1)-g(n)=
+
-
=
＞0，
所以{g（n）}是递增数列，gmin=g(2)=
+
=
，…11分
从而
log2(x+1)＜
，即log2（x+1）＜2…12分
则
，解得x∈（-1，3）． …14分．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
则f(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
令x1=x2=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
则f(
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
令x1=x2=
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+1 |
即f(
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n+1 |
则f(
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n+1 |
所以，数列{an}是等比数列，公比q=
| 1 |
| 2 |
（2）令x1=n，x2=1，得f（n+1）=1+f（1）+f（n），即f（n+1）=f（n）+2
则{f（n）}是等差数列，公差为2，首项f（1）=1，
故f（n）=1+（n-1）•2=2n-1，…8分
bn=
| 1 |
| f(n) |
| 1 |
| 2n-1 |
设g(n)=bn+1+bn+2+…+b2n=
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+3 |
| 1 |
| 4n-1 |
则g(n+1)-g(n)=
| 1 |
| 4n+1 |
| 1 |
| 4n+3 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| (4n+1)(4n+3)(2n+1) |
所以{g（n）}是递增数列，gmin=g(2)=
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 12 |
| 35 |
从而
| 6 |
| 35 |
| 12 |
| 35 |
则
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点评：本题主要考查等比数列的定义和应用，综合考查学生的计算能力，运算量较大，难度不小．
练习册系列答案
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