Question

某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x亿元（x∈[a，b]），其中用于风景区改造费用为y亿元．该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列条件：
①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；
②每年用于风景区改造费用不得低于改造生态环境总费用的15%，但不得高于改造生态环境总费用的22%．
（1）若a=2，b=2.5，请你分析能否采用函数模型y=

1

100

（x³+4x+16）作为生态环境改造投资方案；
（2）若a，b取正整数，并用函数模型y=

1

100

（x³+4x+16）作为生态环境改造投资方案，请你求出a，b的取值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数模型的选择与应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，验证满足条件①；设g（x）=

y

x

=

1

100

（x²+4+

16

x

），确定 函数的单调性，可验证②；
（2）依题意，当x∈[a，b]，a、b∈N^*时，15%≤g（x）≤22%恒成立； 再求15≤x²+4+

16

x

≤22的正整数解即可．

解答： 解：（1）∵y′=

1

100

（3x²+4）＞0，∴函数y=

1

100

（x³+4x+16）是增函数，满足条件①…（2分）
设g（x）=

y

x

=

1

100

（x²+4+

16

x

），则g′（x）=

(x-2)(x2+2x+4)

50x2

令g′（x）=0，得x=2
当x＜2时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，2）上是减函数；
当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）在（2，+∞）上是增函数                …（4分）
又a=2，b=2.5，即x∈[2，2.5]，g（x）在[2，2.5]上是增函数，
∴当x=2时，g（x）有最小值0.16=16%＞15%；
当x=2.5时，g（x）有最大值0.1665=16.65%＜22%，
∴能采用函数模型y=

1

100

（x³+4x+16）作为生态环境改造投资方案   …（6分）
（2）由（1）知g（x）=

y

x

=

1

100

（x²+4+

16

x

），
依题意，当x∈[a，b]，a、b∈N^*时，15%≤g（x）≤22%恒成立；  …（8分）
下面求15≤x²+4+

16

x

≤22的正整数解．令h（x）=x²+4+

16

x

，
由（1）知x∈N^*，h（x）在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数  …（10分）
又由（1）知，在x＞0时，g（x）_min=g（2），且g（2）=16%∈[15%，22%]，
∴x=2符合条件，经枚举g（1），g（3）∈[15%，22%]，而g（4）∉[15%，22%]，
可得x=1或x=2或x=3，
由g（x）单调性知a=1，b=2或a=1，b=3或a=2，b=3均合题意    …（12分）

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导是关键．